Введение в линейную алгебру: определение линейных преобразований

Линейность — это скелетное строение векторных пространств. А линейное преобразование не просто функция; это отображение $T$ между векторными пространствами, сохраняющее фундаментальные операции сложения векторов и умножения на скаляр. Представьте его как «структурный чертёж» — если вы знаете, как преобразование влияет на базовый набор векторов, вы знаете, как оно влияет на всё множество этих векторов.

Два основания линейности

Чтобы преобразование $T$ считалось линейным, оно должно удовлетворять двум строгим алгебраическим условиям для всех векторов $v, w$ и всех скаляров $c$:

Аддитивность: $T(v + w) = T(v) + T(w)$. Преобразование суммы — это сумма преобразований.
Гомогенность: $T(cv) = cT(v)$. Увеличение входа пропорционально увеличивает выход.

Принцип суперпозиции

Объединение этих правил даёт самую мощную идентичность в линейной алгебре:

$$T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)$$

Это означает, что линейное преобразование $T$ действует на линейную комбинацию векторов, распределяя по сумме и вынося скаляры.

Ограничение нулевого вектора

Критический «индикатор» линейности — это Тест на начало координат. Если преобразование линейно, оно должно отображать нулевой вектор в нулевой вектор:

$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

Если отображение смещает начало координат (например, $T(v) = v + b$), то оно является аффинным преобразованием, а не линейным. В геометрии плоскости линейные преобразования сохраняют центр; они никогда не «сдвигают» пространство.

Распознавание нелинейности

Линейность чрезвычайно хрупка. Если правило, определяющее $T$, включает любое из следующего, оно является нелинейным линейным:

квадраты или более высокие степени (например, $v_1^2$)
произведения компонент (например, $v_1 v_2$)
абсолютные значения или нормы (например, $||v||$)
постоянные смещения (например, $v_1 + 1$)

🎯 Основной принцип: Примерный контраст

Рассмотрим фиксированный вектор $a = (1, 3, 4)$. Скалярное произведение скалярное произведение $T(v) = a \cdot v$ линейно, потому что оно распределяется по сложению. Однако норма норма $T(v) = ||v||$ не является линейной; она не проходит проверку неравенства треугольника ($||v+w|| \leq ||v||+||w||$ не является равенством) и не работает для отрицательных скаляров ($||-v|| = ||v|| \neq -||v||$).

ВОПРОС 1

Какое из этих преобразований из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$ НЕ является линейным?

$T(v) = (v_2, v_1)$

$T(v) = v_1 v_2$

$T(v) = v_1 - v_2$

$T(v) = (0, v_1)$

ВОПРОС 2

Предположим, что $T$ — отражение относительно оси $x$, а $S$ — отражение относительно оси $y$ на плоскости $xy$. Если $v = (x, y)$, чему равно результат композиционного преобразования $S(T(v))$?

$(x, y)$ (Тождественное преобразование)

$(-x, y)$ (Отражение относительно оси $y$)

$(-x, -y)$ (Отражение через начало координат)

$(y, x)$ (Отражение относительно $y=x$)

ВОПРОС 3

Если $u = [1, 0]^T$ и $v = [0, 1]^T$, и мы знаем, что $Au$ и $Av$ — это столбцы матрицы $A$. Для $w = [5, 7]^T$, как $Aw$ связано со столбцами $A$?

$Aw = 5Au + 7Av$

$Aw = Au + Av$

$Aw = 7Au + 5Av$

$Aw = [5, 7]^T$

ВОПРОС 4

Преобразование $T(M) = AM$, где $A$ — фиксированная $2 \times 2$ матрица, а $M$ — любая $2 \times 2$ матрица, является линейным. Какие свойства матриц доказывают это?

Правила определителя $|AM| = |A||M|$

Свойство дистрибутивности $A(B+C) = AB+AC$ и ассоциативность скаляра $A(cM) = c(AM)$

Коммутативность $AM = MA$

Факт, что $A$ обратима

ВОПРОС 5

Если векторное пространство состоит из многочленов степени 3 или ниже, почему матрица $B^2$ (представляющая четвёртую производную) равна нулевой матрице?

Потому что производная нуля равна нулю

Потому что четвёртая производная любого многочлена степени $\leq 3$ равна нулю

Потому что базисные векторы ортогональны

Потому что $B$ — диагональная матрица